"எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும் கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு.."-குறள்:392

உங்களுக்கு கணிதம் விருப் பம்மா? உங்கள் பதில் என்னவாக இருந்தாலும்,கணிதம் என்பது ஒரு சவால் விடுகிற பாடம்.5000 வருடங்களுக்கு

முன்,மெசொப்பொத்தேமியாவில் நாகரிகம் முளை விடும் போதே,கணிதத்தின் அடிப்படை கோட்பாடு அல்லது கரு வெளிவர தொடங்கிவிட்டது.இன்று நாம் எண்களை ஒரு பொருளின் விலைகளை குறித்து காட்ட,முகவரியை குறிக்க,தொலைபேசி பாவிக்க, மோட்டார் வண்டியை அடையாளப்படுத்த,ஒரு விளை யாட்டுக் குழுவின் வெவ்வேறு ஆட்டக்காரர்களை அறிய

பாவிக்கிறோம்.இன்று உலகம் முழுவதும் பொதுவாக பதின்மக் குறியீட்டு முறை அல்லது தசம எண் முறை [decimal number system] எனும் பத்தின் அடியை கொண்ட அராபிய இலக்கங்கள் பாவிக்கப்பட்டாலும்,பழங் காலத் தில் பல் வேறு எண் முறைகளும் பாவிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்திய எண்ணுரு முறைமையின் மேற்கு நோக்கிய பரவலே இந்த அராபிய

இலக்கங்கள்/அராபிய எண்ணுரு முறைமை ஆகும். எண்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த இலக்கங்களை அல்லது குறி யீடுகளை முதல் பாவித்த வர்களில் சுமேரியர்களும் ஒருவராவார்.சுமேரியர்கள் ஆறு குறியீடுகளை உருவாக்கினார்கள் [படம்:01] . ஆனால் அந்த குறியீடுகளை மிக கவனமாக பார்வை யிட்டால் அங்கு உண்மையில் இரு குறியீடுகள் [தக்கை யும் "U" வட்டமும் "O"] மட்டுமே இருப்பதை அறியலாம். அதாவது அந்த இரு குறியீடுகளும் ஒன்று சேர்க்கப் பட்டும் அதன் அளவை மாற்றியும் மற்ற குறியீடுகள் அமைக்கப்பட்டு உள்ளது தெரியவரும்.

இந்த சுமேரியன் எண் முறை பத்தை அடியாக கொண்ட தாகவும், அறுபதை அடியாக[sexgesimal,or base 60] கொண்ட தாகவும் உள்ளது மேலே காட்டப்பட்ட எண்களை தவிர வேறு எண்களை உண்டாக்க,இந்த குறியீடுகள் அதற்கு ஏற்றவாறு ஒருங்கிணைக்கப் படுகின்றன.உதாரணமாக,73 எண்ணை உருவாக்க, ஒரு பெரிய தக்கையும் ஒரு சிறிய வட்டமும் மூன்று சிறிய தக்கையும் பாவிக்கலாம் [படம்:02].பெரிய அலகு எப்பவும் இடது பக்கம் அமையும்.

இந்த சுமேரியன் எண் முறை முதன்மையாக அறுபதை அடியாகவும் துணையாக பத்தை அடியாகவும் கொண்டு உள்ளது.இது பண்டைய பபிலோனியருக்கு கொடுக்கப் பட்டு-பின் சிறிது மாற்றி அமைக்கப்பட்டு இன்றும் பாவிக்கப்படுகிறது.உதாரணமாக நேரத்தை அளக்க, கோணத்தை அளவிட மேலும் புவியியல் அச்சுத் தூரங் களை குறிப்பிட பாவிக்கப்படுகிறது.உதாரணமாக, நீங்கள் எப்பவாவது ஏன் ஒரு மணித்தியாலம் 60 நிமிடங் களையும் [மணித்துளிகளையும்] .ஏன் ஒரு நிமிடம் 60 வினாடிகளையும் கொண்டு உள்ளது என வியப்படைந்து உள்ளீர்களா? எப்பவாவது ஒரு முழு வட்டம் ஏன் 360 பாகைகளை கொண்டுள்ளது என சிந்தித்து உள்ளீர்களா? உண்மையில் சுமேரியர்களின் எண் முறை இன்னும் எமது நாளாந்த வாழ்க்கையில் ஒரு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.

பத்தை அடியாக கொண்ட எண்களை மையமாக கொண்ட எங்களது சமுதாயம்,இந்த அறுபதை தேர்ந்து எடுத்ததை ஒரு விந்தையாகவே முதலில் பார்த்திருக்கும். ஆனால் இது உண்மையில் இயல்பானதும் நடை முறைச் சார்ந்ததும் ஆகும்.ஏனென்றால் 60 பல காரணிகளை கொண்டுள்ளது.ஒன்றிலிருந்து,மற்றொன்று உருவாவ தற்கு காரணமான விடயங்கள் அதன் காரணி ஆகும். உதாரணமாக பெருக்கல் கணக்கில்,15 என்ற எண் வருவதற்கு காரணமானது 5ம்,3ம் ஆகும்.எனவே,(5ம்,3ம்), 15 என்ற எண்ணின் காரணிகள் எனப்படும்.இதனால் சுமேரியர்கள் இலகுவாக பல பிரித்தல்களை கையாண் டார்கள்.இந்த 60,12 காரணிகளை கொண்டுள்ளது.அவை 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ஆகும் இதில் 2,3,5 பகா எண் ஆகும்.இது பல காரணிகளை கொண்டிருப்பதால் , அறுபதை அடியாக கொண்ட பல எண்களின் பின்னங்கள் எளிதாக்கப்படுகின்றன.அதுமட்டும் அல்ல ஒன்று தொடங்கி ஆறு வரை எல்லா எண்களாலும் பிரிக்கப்படும் மிகக் குறைந்த எண்ணும் 60 ஆகும்.

பின் ஒரு காலத்தில்,கி மு 2000 அளவில், மெசொப்பொத் தேமியா மக்கள் இந்த முறையை சிறிது மாற்றி,இப்ப நாம் பாவிக்கும் முறை போல,அந்த எண் இருக்கும் நிலையை பொறுத்து அதன் பெறுமானம் வரையறுக்கப் பட்டது.எமது தசம முறையில் நாம் எண்களை எழுதும் போது,ஒவ்வொரு குறியும் இருக்கும் இடம் முக்கிய மானது.உதாரணமாக 278 இல் 2 என்ற குறி 200 ஆகும். அது போல 7 என்பது 70 என்ற பெறுமானத்தையும் 8 என்பது, அதையே,அதாவது 8 ஐ குறிக்கிறது இங்கு இருக்கும் நிலையின் பெருமானம் பத்தை அடியாக கொண்டது.ஆகவே 278 இல் 2 இன் பெறுமானம் 2 x 10 x 10 ஆகும்.அப்படியே 7 என்பது 7x 10 ஆகவும் 8 என்பது 8 x 1 ஆகவும் உள்ளது.ஆகவே ஒவ்வொரு நிலைக்கும் எண்குறியீடு இடது பக்கம் ஆக அசையும் போது அது பத்தின் மடங்கால் கூடுகிறது.ஆனால் சுமேரியனும் அவனை தொடர்ந்து பபிலோனியனும் 60 ஐ அடியாக கொண்ட எண் முறையை பாவித்ததால்,அந்த எண் முறையில், எண்குறியீடு இடது பக்கம் ஆக அசையும் போது 60 இன் மடங்காக கூடும்.உதாரணமாக 4892 என்ற தசம முறை எண்,சுமேரியன் முறையில் கீழ் கண்டவாறு குறிக்கப் படும்.

60 x 60 10 x 60 23

= 3600 + 600 + 23

= 4223

[Y < <<YYY]

இது ஆறுக்கு பதிலாக இரண்டே இரண்டு முற்றிலும் வேறான குறியீடுக்கு குறைக்க வழி வகுத்தது."திராட்சை மதுரசக்கண்ணாடிக் குவளை" வடிவ சின்னம்-wine glass-like symbol-[Y] சுமேரியன் ஒன்றையும் கிடைநிலை "A" வடிவ சின்னம்-horizontal A symbol-[<] சுமேரியன் பத்தையும் குறித்தது.மேலும் ஒரு எண்ணில் அவை இருக்கும் நிலை அவைகளின் தொகையை மாற்றியது. உதாரணமாக எங்கள் நவீன முறையில்,"100" இல் இருக்கும் ஒன்றும் "10,000" இல் இருக்கும் ஒன்றும் வேறு வேறானவை.இந்த சுமேரியன் எண் முறையில் எண் ஒன்று, பத்தை அடியாக கொண்டது,அவை Y, YY, YYY, YYYY, ... YYYYYYYYY [1,2,3,4.....9] என இருக்கும். அப்படியே எண் பத்து, ஆறை அடியாக கொண்டது.அவை எண் <, <<, <<<, <<<<, <<<<< [10,20,30,40,50]]என இருக்கும்.இந்த எண் ஒன்றும் [Y] எண் பத்தும் [<],நாம் எப்படி தசம நவீன முறையில் ஒருங்கிணைகிறோமோ அப்படியே இங்கும் இணைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக நவீன முறை 23 ஐ சுமேரியன் முறையில் " <<YYY" இப்படி குறிக்கப்படு கிறது.அதாவது "Y <<YYY" [1 23] என்பது 60+ 23 ஐ அல்லது 83 ஐ குறித்துக்காட்டுகிறது.அதாவது நவீன முறை போன்றே மெசொப்பொத்தேமியா மக்கள் இந்த தங்களது புதிய "எண் இருக்கும் நிலை பொறுத்த"(Positional System) பெறுமான முறையை பாவித்தார்கள். ஆகவே 1, 60, 60 x 60 [3600],... என அதன் இருக்கும் நிலையின் பெறுமானம் இடது பக்கமாக 60 காரணியால் கூடிக்கொண்டு போகும்.எப்படி எமது தசம எண் முறையில் 2 என்பது தாம் இருக்கும் நிலையை பொறுத்து 2 அல்லது 20 அல்லது 200,அல்லது ... என மாறுமோ அப்படியே சுமேரியன் முறையிலும் 2 என்பது தாம் இருக்கும் நிலையை பொறுத்து 2 அல்லது 120(2 x 60) அல்லது 7200[2x60x60] அல்லது....என மாறும். 360 பாகை,ஒரு அடியும் அதன் 12 அங்குலமும்,ஒரு அலகாக டசன் என்ற அளவும் [பன்னிரண்டு கொண்ட அளவு] சுமேரியன் கணிதத்தின் தடம்களே.

அறுபதை அடியாக கொண்ட சுமேரிய/பாபிலோனியா எண் கணிதத்தில்,ஒரு முழுஎண்ணை பிரதி படுத்த,கடைசி இலக்கம் 1 தொடங்கி 59 வரை குறிக்கும் [படம் :03],அதற்கு முன்னையது அறுபதை[60] காரணியாக கொண்டதாக அமையும்,அதாவது,60 × n அங்கு,1 ≤ n ≤ 59 ஆக இருக்கும்,அப்படியே அது இடது பக்கம் அசைய அசைய 60x60xn [ 60^2 = 3600xn],60x60x60xn [60^3 = 216,000xn] ....என பெறுமானம் கூடிக் கொண்டு போகும்.மேலும் ஒன்றினதும் [1],அறுபத்தினதும்[60] குறியீடு ஒரே மாதிரியே இருக்கும். எனினும் பாபிலோனி யனுக்கு இந்த வித்தியாசம் தெரியும்.ஏனென்றால், அறுபது [60] இடது பக்கமும் ஒன்று [1] வலது பக்கமும் அமைவதால் ஆகும் [படம் :04].நாம் இனி இலக்க குறியீடுகளை ஒரு காற்புள்ளி யால் [கமாவால்] வேறுபடுத்தி காட்டுவோம். உதாரணமாக, 1,57,46,40 என்ற அறுபதை அடியாக கொண்ட சுமேரிய/பாபி லோனியா எண், 1 ×60^3 + 57 ×60^2 + 46 × 60 + 40 என்பது தசம எண் முறையில், 424000 குறிக்கும் [படம் :05].அப்படியே,5,220 ,062 என்ற தசம எண்,சுமேரிய எண் கணிதத்தில் /முறையில் ,<<YYYY < Y YY [படம் :06] இப்படி குறிக்கப்படும். அதே போல,4892 என்பது Y < <<YYY [60 x 60 10 x 60 23 = 3600 + 600 + 23 = 4223] என குறிக்கப்படும்.

சுமேரிய/பாபிலோனியா எண்களில் சுழியம் (பூஜ்யம்) இல்லாமல் போயினும்,அதற்கு பதிலாக முதலில் ஒரு காலியான இடம் அல்லது இடைவெளி பாவிக்கப்பட்டது [படம்:07].எனினும் பின்னர் ஒரு சிறப்புக் குறியீடு அவர்களால் பாவிக்கப்பட்டது [படம்:08] .